不等式问题

不等式问题已知ab+bc+ca≥

已知 ab+bc+ca≥3 求证 a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≥(3/√2) (1) 证明 由权方和不等式得 a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a) =a^(3/2)/(a^2+ab)^(1/2)+b^(3/2)/(b^2+bc)^(1/2)+c^(3/2)/(c^2+ca)^(1/2) ≥(a+b+c)^(3/2)/(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^(1/2) =(a+b+c)^(3/2)/[(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)]^(1/2) ≥(a+b+c)^(3/2)/[(a+b+c)^2-3)]^(1/2) =√[t^3/(...全部

  已知 ab+bc+ca≥3 求证 a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≥(3/√2) (1) 证明 由权方和不等式得 a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a) =a^(3/2)/(a^2+ab)^(1/2)+b^(3/2)/(b^2+bc)^(1/2)+c^(3/2)/(c^2+ca)^(1/2) ≥(a+b+c)^(3/2)/(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^(1/2) =(a+b+c)^(3/2)/[(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)]^(1/2) ≥(a+b+c)^(3/2)/[(a+b+c)^2-3)]^(1/2) =√[t^3/(t^2-3)] (2) 其中t=a+b+c≥√[3(ab+bc+ca)]≥3。
   令f(t)=t^3/(t^2-3) (t≥3),则可证 f(t)≥9/2。
   (3) 事实上，f(t)≥9/22t^3≥9(t^2-3) (t-3)^2*(2t+3)≥0 (显然成立) 由(2),(3)得 a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≥(3/√2)。收起