高二不等式问题2

ab属于正实数，a+b=2,求证：3^a+3^b＜10

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2005-09-17

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    ab属于正实数，a+b=2,求证：3^a+3^b<10 解:3^a+3^b=3^a+3^(2-a) 令3^a=X,∵0<a<2∴1<X<9 3^a+3^b=F(X)=X+9/X≥2√9=6。
  当X=9/X即:X=3取等号, 这就是说1<X<3,F(X)是减函数;3<X<9,F(X)是增函数。   下面证明1<X<3,F(X)是减函数。
  设:1<X1<X2<3, F(X1)-F(X2)=(X1+9/X1)-(X1+9/X1)=(X1-X2)(X1X2-9)/X1X2 ∵X1-X2<0,X1X2-9<0。
   ∴当1<X<3时,F(X)是减函数。F(X)<F(1)=3^2+3^0=10 ∴同理:当3<X<9,F(X)是增函数。  ∴F(X)<F(3)=3^2+3^0=10 综上所述:F(X)=X+9/X<10即:3^a+3^b<10。

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