不等式1、若a,b,c∈R+且a
证明 因ab+bc+ac=1，所以a/[a+√(1+a^2)]=a/[a+√(a+b)(a+c)]。
首先证三个局部不等式，
a/[a+√(a+b)(a+c)] ≤a(b+c)/[2(bc+ca+ab)] (1)
2bc+2ca+2ab= 2bc+ab+ac≤(b+c)* √(a+b)(a+c)
两边平方为:(2bc+ab+ac)^2≤(b+c)^2*(a+c)(a+b)
(bc+ac+ab)*(b-c)^2≥0。 所以(1)成立。
同理得:
b/[b+√(a+b)(b+c)] ≤b(a+c)/[2(bc+ca+ab)] (2)
c/[c+√(b+c)(a+c)] ≤c(a+...全部
证明 因ab+bc+ac=1，所以a/[a+√(1+a^2)]=a/[a+√(a+b)(a+c)]。
首先证三个局部不等式，
a/[a+√(a+b)(a+c)] ≤a(b+c)/[2(bc+ca+ab)] (1)
2bc+2ca+2ab= 2bc+ab+ac≤(b+c)* √(a+b)(a+c)
两边平方为:(2bc+ab+ac)^2≤(b+c)^2*(a+c)(a+b)
(bc+ac+ab)*(b-c)^2≥0。
所以(1)成立。
同理得:
b/[b+√(a+b)(b+c)] ≤b(a+c)/[2(bc+ca+ab)] (2)
c/[c+√(b+c)(a+c)] ≤c(a+b)/[2(bc+ca+ab)] (3)
(1)+(2)+(3) 得
a/[a+√(a+b)(a+c)]+ b/[b+√(a+b)(b+c)]+ c/[c+√(b+c)(a+c)] ≤1。
故不等式获证。
备注: 用三角代换也可证, 关键找出局部不等式。
设t=b/a，根据a,b∈［1/2,1］, 所以有 t∈［1/2,2］。
而 b/a+a/b≤5/2可转化为 t+1/t≤5/2, 因为t>0
故等价于 2t^2-5t+2≤0, (2t-1)*(t-2) ≤0, 显然成立。
(ab+bc)/( a2+2b2+c2)≥2/5
5ab+5bc-2a^2-4b^2-2c^2≥0
(2b-a)*(2a-b)+(2c-b)(2b-c) ≥0
因为a,b,c∈［1/2,1］，故上式显然成立。
。收起
