高中不等式问题

不等式问题设a,b,c为正实数。

楼上两位好像都证繁了，这里提供一种用卡尔松不等式的简证: 由卡尔松不等式[∑(a/√(a^2+8bc))][∑(a/√(a^2+8bc))](∑a(a^2+8bc))>=(a+b+c)^3 要证出∑(a/√(a^2+8bc))>=1，只要证出 (a+b+c)^3/(∑a(a^2+8bc))>=1即可 而上式等价于： (a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc>=8abc (a^2b+c^2a+ab^2+ca^2+2abc)+bc(b+c)>=8abc a[b^2+2bc+c^2+a(b+c)]+bc(b+c...全部

  楼上两位好像都证繁了，这里提供一种用卡尔松不等式的简证: 由卡尔松不等式[∑(a/√(a^2+8bc))][∑(a/√(a^2+8bc))](∑a(a^2+8bc))>=(a+b+c)^3 要证出∑(a/√(a^2+8bc))>=1，只要证出 (a+b+c)^3/(∑a(a^2+8bc))>=1即可 而上式等价于： (a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+2abc>=8abc (a^2b+c^2a+ab^2+ca^2+2abc)+bc(b+c)>=8abc a[b^2+2bc+c^2+a(b+c)]+bc(b+c)>=8abc a[(b+c)^2+a(b+c)]+bc(b+c)>=8abc a(b+c)(a+b+c)+bc(b+c)>=8abc (b+c)(a^2+ab+ac+bc)>=8abc (b+c)[a(a+b)+c(a+b)]>=8abc (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc 而注意到由均值不等式：(a+b)(b+c)(c+a)>=(2√ab)(2√bc)(2√ca)=8abc 即上式显然成立。
   于是可知∑(a/√(a^2+8bc))>=1成立。收起