不等式问题

高中不等式问题设a,b,c,d为

设a,b,c,d为正实数,且有ab+bc+cd+da=1。求证 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 简证 由三元均值不等式得: a^3/(b+c+d)+(b+c+d)/18+1/12>=a/2; b^3/(c+d+a)+(c+d+a)/18+1/12>=b/2; c^3/(d+a+b)+(d+a+b)/18+1/12>=c/2; d^3/(a+b+c)+(a+b+c)/18+1/12>=d/2。 以上四式相加得: a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(a...全部

  设a,b,c,d为正实数,且有ab+bc+cd+da=1。求证 a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 简证 由三元均值不等式得: a^3/(b+c+d)+(b+c+d)/18+1/12>=a/2; b^3/(c+d+a)+(c+d+a)/18+1/12>=b/2; c^3/(d+a+b)+(d+a+b)/18+1/12>=c/2; d^3/(a+b+c)+(a+b+c)/18+1/12>=d/2。
   以上四式相加得: a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c) >=(a+b+c+d-1)/3 而 ab+bc+cd+da=1 (a+c)*(b+d)=1 所以 a+b+c+d=a+c+1/(a+c)>=2 故得: a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3 。
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