求助不等式训练题-4

不等式问题已知x，y，z是正实数

已知x，y，z是正实数，且xyz=1，求证 x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)>=3/4。 证明 根据均值不等式得: x^3/(1+y)*(1+z)+(1+y)/8+(1+z)/8≥3x/4 (1) y^3/(1+z)*(1+x)+(1+z)/8+(1+x)/8≥3y/4 (2) z^3/(1+x)*(1+y)+(1+x)/8+(1+y)/8≥3z/4 (3) (1)+(2)+(3)得: x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥(x+y+z)/2-3/4 (4) 而x...全部

  已知x，y，z是正实数，且xyz=1，求证 x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)>=3/4。 证明 根据均值不等式得: x^3/(1+y)*(1+z)+(1+y)/8+(1+z)/8≥3x/4 (1) y^3/(1+z)*(1+x)+(1+z)/8+(1+x)/8≥3y/4 (2) z^3/(1+x)*(1+y)+(1+x)/8+(1+y)/8≥3z/4 (3) (1)+(2)+(3)得: x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥(x+y+z)/2-3/4 (4) 而x+y+z≥xyz=3， 故得x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥3/4。
   证毕。 证明(二) 根据均值不等式得: x^3/(1+y)*(1+z)+x(1+y)/8(1+z)/16≥x^2/2 (1) y^3/(1+z)*(1+x)+y(1+z)*(1+x)/16≥y^2/2 (2) z^3/(1+x)*(1+y)+z(1+x)*(1+y)/16≥z^2/2 (3) (1)+(2)+(3)得: x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y) ≥[8(x^2+y^2+z^2)-2(yz+zx+xy)-(x+y+z)-3]/16 ≥[6(x^2+y^2+z^2) -(x+y+z)-3]/16 ≥[6(x^2+y^2+z^2) -(x+y+z)-3]/16 ≥[5(x^2+y^2+z^2)+ (x+y+z)-6]/16 ≥[15+3-6]/16=3/4。
  证毕。 证明(三) 原不等式去分母等价于 4[x^3*(x+1)+y^3*(1+y)+z^3*(1+z)]≥3(x+1)*(y+1)*(z+1) ，(1) 下面来证更强式 4[x^3*(x+1)+y^3*(1+y)+z^3*(1+z)]≥(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3 (2) 4(x^4+y^4+z^4)+3(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)-3(x+y+z)-3≥0 因为x^4+1≥2x^2，x^3+1≥x^2+x，所以只需证 x^2+y^2+z^2≥3。
  显然成立。 备注: 此不等式还有许证法与加强证明。 。收起