不等式2

设a、b、c∈R+，用排序不等式

①不妨设a≥b≥c>0，则有 a^2≥b^2≥c^2，且ab≥ac≥bc。 ∴a^3+b^3+c^3 =a·a^2+b·b^2+c·c^2 ≥ab^2+bc^2+ca^2 =b·ab+c·bc+a·ac ≥a·bc+b·ca+c·ab =3abc。 ②设a≥b≥c>0，则 1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab， ∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b ↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。 即原不等式得证。 ③设a≥b≥c>0，则 a^2≥b^2≥c^2，b+c全部

  ①不妨设a≥b≥c>0，则有 a^2≥b^2≥c^2，且ab≥ac≥bc。 ∴a^3+b^3+c^3 =a·a^2+b·b^2+c·c^2 ≥ab^2+bc^2+ca^2 =b·ab+c·bc+a·ac ≥a·bc+b·ca+c·ab =3abc。
   ②设a≥b≥c>0，则 1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab， ∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b ↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。
   即原不等式得证。 ③设a≥b≥c>0，则 a^2≥b^2≥c^2，b+c   三式相加，得 a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) ≤(1/3)(a^2+b^2+c^2)(2a+2b+2c)。 同理，可得 2(a^3+b^3+c^3)≥(2/3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)， ∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
  收起