高中竞赛数学
证：鸽笼原理。把实数集分为六个子集:[-1,-2+√3],(-2+√3,2-√3),[2-√3,1]，(1,2+√3],
(2+√3,+∞)U(-∞,-2-√3),[-2-√3,-1)，七个实数至少有两个属于同一个子集。
若x∈(1,2+√3]，则1/x∈[2-√3,1]；若x∈(2+√3,+∞)U(-∞,-2-√3)，则1/x∈(-2+√3,2-√3)；若x∈[-2-√3,-1)，则1/x∈[-1,-2+√3]。 (x-y)/(1+xy)=(1/y-1/x)/[1+(1/x)*(1/y)],因此,只需考虑前三种情况
设m>n,
m,n∈(-2+√3,2-√3)时m+√3∈(-2+2...全部
证：鸽笼原理。把实数集分为六个子集:[-1,-2+√3],(-2+√3,2-√3),[2-√3,1]，(1,2+√3],
(2+√3,+∞)U(-∞,-2-√3),[-2-√3,-1)，七个实数至少有两个属于同一个子集。
若x∈(1,2+√3]，则1/x∈[2-√3,1]；若x∈(2+√3,+∞)U(-∞,-2-√3)，则1/x∈(-2+√3,2-√3)；若x∈[-2-√3,-1)，则1/x∈[-1,-2+√3]。
(x-y)/(1+xy)=(1/y-1/x)/[1+(1/x)*(1/y)],因此,只需考虑前三种情况
设m>n,
m,n∈(-2+√3,2-√3)时m+√3∈(-2+2√3,2)，√3-n∈(-2+2√3,2)，（m+√3）(√3-n)≤4,
(m-n)√3≤1+mn,1+mn≥1-∣mn∣≥1-(2-√3)^2>0,所以00,所以0<(m-n)/(1+mn)≤1/√3。
同理，m,n∈[-1，-2+√3]时也有0<(m-n)/(1+mn)≤1/√3。
证2 由(x-y)/(1+xy)，我们想到三角公式：tan（A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)。
令这七个实数分别对应于（-π/2，π/2）的A1,A2,。。。,A7的正切，又由1/√3=tan(π/6)，想到要证明的是0≤tan（Ai-Aj)≤tan(π/6)。把（-π/2，π/2）等分成六个部分，由抽屉原理可知定有两个角落在同一个部分里，那么结论成立。
。收起
