设a、b、c∈R+，用排序不等式证明:
①a3+b3+c3≥3abc； ②[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(a+b+c)≥abc； ③2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)。
全部回答
①不妨设a≥b≥c>0，则有
a^2≥b^2≥c^2，且ab≥ac≥bc。
∴a^3+b^3+c^3
=a·a^2+b·b^2+c·c^2
≥ab^2+bc^2+ca^2
=b·ab+c·bc+a·ac
≥a·bc+b·ca+c·ab
=3abc。
②设a≥b≥c>0，则 1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab， ∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b ↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。
即原不等式得证。 ③设a≥b≥c>0，则 a^2≥b^2≥c^2，b+c<a+c<a+b。 于是有以下三式: a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≤a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)， a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≤a^2(a+c)+b^2(a+b)+c^2(b+c)， a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=a^2(a+b)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
三式相加，得 a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) ≤(1/3)(a^2+b^2+c^2)(2a+2b+2c)。 同理，可得 2(a^3+b^3+c^3)≥(2/3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)， ∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
。
②设a≥b≥c>0，则 1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab， ∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b ↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。
即原不等式得证。 ③设a≥b≥c>0，则 a^2≥b^2≥c^2，b+c<a+c<a+b。 于是有以下三式: a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≤a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)， a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)≤a^2(a+c)+b^2(a+b)+c^2(b+c)， a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)=a^2(a+b)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
三式相加，得 a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) ≤(1/3)(a^2+b^2+c^2)(2a+2b+2c)。 同理，可得 2(a^3+b^3+c^3)≥(2/3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)， ∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
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