设a、b、c∈R+，用排序不等式
①不妨设a≥b≥c>0，则有
a^2≥b^2≥c^2，且ab≥ac≥bc。
∴a^3+b^3+c^3
=a·a^2+b·b^2+c·c^2
≥ab^2+bc^2+ca^2
=b·ab+c·bc+a·ac
≥a·bc+b·ca+c·ab
=3abc。
②设a≥b≥c>0，则
1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab，
∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b
↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。
即原不等式得证。
③设a≥b≥c>0，则
a^2≥b^2≥c^2，b+c全部
①不妨设a≥b≥c>0，则有
a^2≥b^2≥c^2，且ab≥ac≥bc。
∴a^3+b^3+c^3
=a·a^2+b·b^2+c·c^2
≥ab^2+bc^2+ca^2
=b·ab+c·bc+a·ac
≥a·bc+b·ca+c·ab
=3abc。
②设a≥b≥c>0，则
1/a≤1/b≤1/c，bc≤ca≤ab，
∴bc/a+ca/b+ab/c≥bc/c+ca/a+ab/b
↔[(ab)2+(bc)2+(ca)2]/(abc)≥a+b+c。
即原不等式得证。
③设a≥b≥c>0，则
a^2≥b^2≥c^2，b+c
三式相加，得
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)
≤(1/3)(a^2+b^2+c^2)(2a+2b+2c)。
同理，可得
2(a^3+b^3+c^3)≥(2/3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)，
∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)。
收起
