关于两个三角形的不等式
关于两个三角形的不等式
问题 设ΔABC与ΔA’B’C’ 的边长分别为a,b,c，a’,b’,c’ 。外接圆与内切圆半径分别为R,r;R’,r’ 。证明与否定
a/(b’+c’-a’)+b/(c’+a’-b’)+c/(a’+b’-c’)≥[√r*(4R+r)]/r’
证明 上述不等式成立，下面给出详细证明。
设2x= b’+c’-a’,2y= c’+a’-b’,2z= a’+b’-c’ ，[x,y,z均为正实数],则r’=√[xyz/(x+y+z)] ，所以待证不等式等价于:
a*yz+b*zx+c*xy≥2xyz*√[r*(4R+r)*(x+y+z)/xyz]
注意已知三角形恒等式:...全部
关于两个三角形的不等式
问题 设ΔABC与ΔA’B’C’ 的边长分别为a,b,c，a’,b’,c’ 。外接圆与内切圆半径分别为R,r;R’,r’ 。证明与否定
a/(b’+c’-a’)+b/(c’+a’-b’)+c/(a’+b’-c’)≥[√r*(4R+r)]/r’
证明 上述不等式成立，下面给出详细证明。
设2x= b’+c’-a’,2y= c’+a’-b’,2z= a’+b’-c’ ，[x,y,z均为正实数],则r’=√[xyz/(x+y+z)] ，所以待证不等式等价于:
a*yz+b*zx+c*xy≥2xyz*√[r*(4R+r)*(x+y+z)/xyz]
注意已知三角形恒等式: 2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2=4r(4R+r),
上式两边平方等价于:
(a*yz+b*zx+c*xy)^2≥xyz*(x+y+z)*( 2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2) (*)
(*)可化简为下列两种形式:
yz*(x+y)*(x+z)*a^2+zx*(y+z)*(y+x)*b^2+xy*(z+x)*(z+y)*c^2≥2xyz*(y+z)*bc+2xyz*(z+x)ca+2xyz*(x+y)*ab (**)
a^2*y^2*z^2+b^2*z^2*x^2+c^2*x^2*y^2≥(2ca+2ab-a^2-b^2-c^2)x^2yz+ (2bc+2ab-a^2-b^2-c^2)xy^2z+(2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)xyz^2 (***)
(**)配方得:
{a*√[yz(x+y)*(x+z)]-b*xyz*(x+y)/√[yz(x+y)*(x+z)]-c*xyz*(z+x)/√[yz(x+y)*(x+z)]}^2
+{xyz*(x+y+z)/ [yz(x+y)*(x+z)]}*[z*(x+y)*b-y*(z+x)*c]^2≥0。
易验证a:b:c=x*(y+x):y*(z+x):z*(x+y) ，即
x:y:z=1/(b+c-a):1/(c+a-b):1/(a+b-c)时等号成立。
(***)配方得:
[a*yz-(2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)*zx/(2a)-(2ab+2bc-a^2-b^2-c^2)*xy/(2a)]^2+(2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2)*[(a+b-c)*zx-(c+a-b)*xy]^2/(4a^2)≥0,
易验证yz:zx:xy=(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)，即
x:y:z=1/(b+c-a):1/(c+a-b):1/(a+b-c)时等号成立。
证毕。
。收起
