在△abc中求tg^2(a
在△abc中,求tg^2(a/2)+tg^2(b/2)+tg^2(c/2)的最小值在△abc中,求tg^2(a/2)+tg^2(b/2)+tg^2(c/2)的最小值
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先证明一三角恒等式：
A+B+C＝π
→(A+B)/2＝π/2-C/2
→[tan(A/2)+tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]＝1/tan(C/2)
→tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)＝1。
为方便表达，上式设 m＝tan(A/2),n＝tan(B/2),p＝tan(C/2) 则mn+np+pm＝1。
∴m^2+n^2+p^2 ＝(1/2)·[(m^2+n^2)+(n^2+p^2)+(p^2+m^2)] ≥(1/2)·(2mn+2np+2pm)（均值不等式） ＝mn+np+pm ＝1, 即[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2≥1， 上式取等时，得所求最小值为：1， 此时易得A＝B＝C＝π/3,即ABC为正三角形。
为方便表达，上式设 m＝tan(A/2),n＝tan(B/2),p＝tan(C/2) 则mn+np+pm＝1。
∴m^2+n^2+p^2 ＝(1/2)·[(m^2+n^2)+(n^2+p^2)+(p^2+m^2)] ≥(1/2)·(2mn+2np+2pm)（均值不等式） ＝mn+np+pm ＝1, 即[tan(A/2)]^2+[tan(B/2)]^2+[tan(C/2)]^2≥1， 上式取等时，得所求最小值为：1， 此时易得A＝B＝C＝π/3,即ABC为正三角形。
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