不等式2
设a、b、c∈R+，且a+b+c=3， 证明:1/(a2+b2+2)+1/(b2+c2+2)+1/(c2+a2+2)≤3/4。
全部回答
原式即:∑[1/(a^2+b^2+2)]≤3/4……①
依Cauchy不等式得
[∑((a^2+b^2)/(a^2+b^2+2))]·∑(a^2+b^2+2)≥[∑√(a^2+b^2)]^2。
又[∑√(a^2+b^2)]^2=2∑a^2+2∑√[(a^2+b^2)(a^2+c^2)]， 故√[(a^2+b^2)(a^2+c^2)]≥a^2+bc， 则[∑√(a^2+b^2)]^2 ≥2∑a^2+2∑a^2+2∑ab =3∑a^2+(a+b+c)^2 =9+3∑a^2 =(3/2)·(6+2∑a^2) =(3/2)∑(a^2+b^2+2)， 故[∑((a^2+b^2)/(a^2+b^2+2)]·∑(a^2+b^2+2)≥(3/2)·∑(a^2+b^2+2) ∴∑[(a^2+b^2)/(a^2+b^2+2)]≥3/2……②。
式②两边乘以-1，再加3，再除以2，即得①。 故原式得证。
又[∑√(a^2+b^2)]^2=2∑a^2+2∑√[(a^2+b^2)(a^2+c^2)]， 故√[(a^2+b^2)(a^2+c^2)]≥a^2+bc， 则[∑√(a^2+b^2)]^2 ≥2∑a^2+2∑a^2+2∑ab =3∑a^2+(a+b+c)^2 =9+3∑a^2 =(3/2)·(6+2∑a^2) =(3/2)∑(a^2+b^2+2)， 故[∑((a^2+b^2)/(a^2+b^2+2)]·∑(a^2+b^2+2)≥(3/2)·∑(a^2+b^2+2) ∴∑[(a^2+b^2)/(a^2+b^2+2)]≥3/2……②。
式②两边乘以-1，再加3，再除以2，即得①。 故原式得证。
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