不等式2

三角不等式2在△ABC中，求证:

先写一个 cosA=(b²+c²-a²)/2bc ab+bc+ca=s²+r²+4Rr ∑a²=2(s²-r²-4Rr) abc=4Rrs 则, 原不等式等价于 `∑[cos²A/(1+cosA)] =∑{(b²+c²-a²)²/[2bc(a+b+c)(b+c-a)]} ≥(∑a²)²/{8s[(s∑ab)-3abc]} (柯西) =(s²-r²-4Rr)²/[2s²(s²+r²...全部

  先写一个 cosA=(b²+c²-a²)/2bc ab+bc+ca=s²+r²+4Rr ∑a²=2(s²-r²-4Rr) abc=4Rrs 则, 原不等式等价于 `∑[cos²A/(1+cosA)] =∑{(b²+c²-a²)²/[2bc(a+b+c)(b+c-a)]} ≥(∑a²)²/{8s[(s∑ab)-3abc]} (柯西) =(s²-r²-4Rr)²/[2s²(s²+r²-8Rr)] ≥1/2 ⇔ (4R+r)²≥3s² ⇒ 4R+r≥s√3 (Finsler's 不等式) ∑[cos²A/(1+cosA)]≥3∑cos²A/(3+∑cosA)≥9R/[4(4R+r)]≥1/2 ⇔ R≥2r, 显然成立。
   2。
   原不等式等价于 16R³+8R²r+r²R≥2s²(2R-r) 由Blundon's不等式 (R-2r)(8R²-12Rr+r²)≥4(R-2r)(2R-r)√[R(R-2r)] ⇔ (8R²-12Rr+r²)²≥16(2R-r)²(R²-2Rr) ⇔ r²(4R+r)²≥0 当R=2r, 即A=B=C时取等号。收起