需用不等式的证明来解决,谢谢帮忙
已知a大于0,b大于0,且a不等于b,求证:a/√b+b/√a大于√a+√b.
全部回答
先告诉你一个最直接简单的方法~
这道不等式题目用柯西不等式可以证明
证明过程如下
因为 a > 0 , b > 0 所以对应的将原不等式进行变形
则变形为
(a/√b+b/√a)(√b + √a) >= (√a + √b )^2
这是柯西不等式的标准形式，显然成立
所以由此可知原命题是成立的~
！！！ 再提供给你一个较为常规的做法——作差法 ！！！
要证明a/√b+b/√a >= √b +√a
= 0
这时将两个式子通分，得到
(a√a + b√b)/(√a√b) -( a√b + b√a)/(√a√b) >= 0
将两个式子合并，得到
[(a√a + b√b) - ( a√b + b√a)]/(√a√b)
再合并同类项，得到
[a(√a -√b ) + b (√b -√a)]/(√a√b)
(a - b)(√a -√b )/(√a√b) 。
。。。。(4) 由题意可知，a。
b均大于零 所以不妨设a与b的关系得到 (a - b)与(√a -√b )这两条式子各自的结果必为 同是正数或者同是负数！所以(4)式的 分子部分必定 >= 0 (当且仅当 a = b 时等号成立！) 因为其分母部分也肯定 > 0 综上 (a√a + b√b)/(√a√b) -( a√b + b√a)/(√a√b) >= 0 成立，所以要证的 a/√b+b/√a >= √b +√a 自然是成立的！ 另外，提供第三种解法仅供参考~ 如果是进行通分的话，不妨对不等式进行移项处理 然后不妨设 a 与 b 的关系列出排序不等式 就可以得到 顺序和 >= 反序和 所以不等式显然成立，这样的方法也类似于法一 属于特殊类型的不等式证明！ 愿你都能试一试~没学过就提早看看吧~很实用~ 完毕~。
。。。。(4) 由题意可知，a。
b均大于零 所以不妨设a与b的关系得到 (a - b)与(√a -√b )这两条式子各自的结果必为 同是正数或者同是负数！所以(4)式的 分子部分必定 >= 0 (当且仅当 a = b 时等号成立！) 因为其分母部分也肯定 > 0 综上 (a√a + b√b)/(√a√b) -( a√b + b√a)/(√a√b) >= 0 成立，所以要证的 a/√b+b/√a >= √b +√a 自然是成立的！ 另外，提供第三种解法仅供参考~ 如果是进行通分的话，不妨对不等式进行移项处理 然后不妨设 a 与 b 的关系列出排序不等式 就可以得到 顺序和 >= 反序和 所以不等式显然成立，这样的方法也类似于法一 属于特殊类型的不等式证明！ 愿你都能试一试~没学过就提早看看吧~很实用~ 完毕~。
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