初中平面几何题
已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为△ABC外一点，BD=DC，∠BDC=120°,以D为顶点作60°的角交AB、AC于M、N，求△AMN的周长。（我不会在电脑上画图，惭愧啊，请高手原谅！
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由于DB=DC 所以点D在BC的垂直平分线上,等边三角形,三线合一,AD 是角平分线
过点D作DP垂直于MN于点P, DP⊥MN
∠ADB=60°∠BAD=30°
AB⊥BD
已知 ∠MDB+∠NDC=60° ∠MDP+∠NDP=60°∠MDB+∠NDC=∠MDP+∠NDP
假设 DP≠DB 则 DP≠DC
∠MDB≠∠MDP 则∠NDC≠∠NDP
不妨假设 DP>DB 则∠MDB>∠MDP
DP>DC 则 ∠NDC>∠NDP
∠MDB+∠NDC>∠MDP+∠NDP 与已知矛盾
同理 当DP<DB 则∠MDB<∠MDP， ∠NDC<∠NDP
∠MDB+∠NDC<∠MDP+∠NDP与已知矛盾
综上，我们可知 DP=DB
又 ∵ ∠MBD=∠MPD=90° MD是公共边
则△MBD≌△MPD 所以 MP=MB
同理 NP=NC
所以 △AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=4
图见附件，里面更详细。
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解：根据题意得如图。（请点击一下图，才能看清楚一些）
∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为△ABC外一点，BD=DC，∠BDC=120°,以D为顶点作60°的角交AB、AC于M、N，
∴∠DBC=∠DCB=30°，∠MBD=∠NCD=90°，∠MDB=∠NDC=30°，
∴△MBD≌△NCD（ASA）
∴MB=NC，MD=ND。
∴MN=MD=ND=AM=AN（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 ∴MD=2MB（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那末30°角所对的边等于斜边的一半）。
∴AM=2MB ∵AM+ MB=2 ∴3 MB=2 ∴MB=2/3 ∴AM=4/3 ∴△AMN的周长=3 AM=3×（4/3）= 4。 因tan还没学过，不必考虑其他了。
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∴MN=MD=ND=AM=AN（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 ∴MD=2MB（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那末30°角所对的边等于斜边的一半）。
∴AM=2MB ∵AM+ MB=2 ∴3 MB=2 ∴MB=2/3 ∴AM=4/3 ∴△AMN的周长=3 AM=3×（4/3）= 4。 因tan还没学过，不必考虑其他了。
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