不等式问题（四）
猜想 设M是三角形ABC平面上任意一点，a,b,c分别表示三角形ABC的三边长，证明与否定
MA^2+MB^2+MC^2>=(a^2+b^2+c^2)/3
证法（一） 根据三角形惯性极矩不等式：x,y,z为实数。
(x+y+z)(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=a^2yz+b^2zx+c^2xy
上式中取x=y=z=1时即为所证不等式。上式取等条件为x:y:z=1:1:1，即三角形重心坐标为(1,1,1)，此点为重心。
证法（二）三角形三条中线AD,BE,CF交于重心G，不妨设有一点M在三角形DGC中，对于三角形AMD和G由斯特瓦尔特定理，有
MA^2*DG+MD^...全部
猜想 设M是三角形ABC平面上任意一点，a,b,c分别表示三角形ABC的三边长，证明与否定
MA^2+MB^2+MC^2>=(a^2+b^2+c^2)/3
证法（一） 根据三角形惯性极矩不等式：x,y,z为实数。
(x+y+z)(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=a^2yz+b^2zx+c^2xy
上式中取x=y=z=1时即为所证不等式。上式取等条件为x:y:z=1:1:1，即三角形重心坐标为(1,1,1)，此点为重心。
证法（二）三角形三条中线AD,BE,CF交于重心G，不妨设有一点M在三角形DGC中，对于三角形AMD和G由斯特瓦尔特定理，有
MA^2*DG+MD^2*GA-MG^2*AD=AD*DG*DA
将DG=AD/3,GA=2AG/3代入上式整理得:
MG^2=MA^2/3+2MD^2/3-2AD^2/9 (1)
根据中线公式容易算出,在三角形MBC与GBC三角形中有
MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4
GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4
将其代入(1)式得
3MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2AD^2/3
=(MA^2+MB^2+MC^2)-(GB^2+GC^2+GA^2)
因此有
MA^2+MB^2+MC^2=GB^2+GC^2+GA^2+3MG^2
从上式等式显然可看出,当M异于G时，有
MA^2+MB^2+MC^2>=GB^2+GC^2+GA^2
而 GB^2+GC^2+GA^2=(a^2+b^2+c^2)/3。
因此有 MA^2+MB^2+MC^2>=(a^2+b^2+c^2)/3。
。收起
