不等式问题（五）

高分求助--几何不等式问题设P是

设P是三角形ABC平面上任一点,la,lb,lc分别表示三角形ABC相应边的中线。试证 PA/(lb+lc)+PB/(lc+la)+PC/(la+lb)>=1 证明 下面先证一个更强的结论: 设P是△ABC平面上任一点，P点到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF。 BC=a,CA=b,AB=c。则 (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC≥2√∑(bc)^2 (1) 根据简单不等式和已知恒等式: (PB+PC)^2≥BC^2+4PD^2; (PC+PA)^2≥CA^2+4PE^2; (PA+PB)^2≥AB^2+4PF^2。 BC*PD+CA*PE...全部

  设P是三角形ABC平面上任一点,la,lb,lc分别表示三角形ABC相应边的中线。试证 PA/(lb+lc)+PB/(lc+la)+PC/(la+lb)>=1 证明 下面先证一个更强的结论: 设P是△ABC平面上任一点，P点到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF。
  BC=a,CA=b,AB=c。则 (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC≥2√∑(bc)^2 (1) 根据简单不等式和已知恒等式: (PB+PC)^2≥BC^2+4PD^2; (PC+PA)^2≥CA^2+4PE^2; (PA+PB)^2≥AB^2+4PF^2。
   BC*PD+CA*PE+AB*PF=2S [S表示△ABC的面积] 据此，由柯西不等式和海仑公式得： [(CA+AB)*PA+(AB+BC)*PB+(BC+CA)*PC]^2 =[(PB+PC)*BC+(PC+PA)*CA+(PA+PB)*AB]^2 =∑BC^2*(PB+PC)^2+2∑CA*AB*(PC+PA)*(PA+PB) ≥∑BC^2*(BC^2+4PD^2)+2∑CA*AB√[(CA^2+4PE^2)*(AB^2+4PF^2)] ≥∑BC^2*(BC^2+4PD^2)+2∑CA*AB*(CA*AB+4PE*PF) =[∑BC^2]^2+4[∑BC*PD]^2 =[∑BC^2]^2+16S^2=4∑(bc)^2。
   故得(1)式。 根据不等式(1),我们只需证下列三式成立。 2√∑(bc)^2>=(b+c)*(lb+lc) (2-1) 2√∑(bc)^2>=(c+a)*(lc+la) (2-2) 2√∑(bc)^2>=(a+b)*(la+lb) (2-3) 欲证(2-1)式,只需证 4∑(bc)^2>=(b+c)^2*(lb+lc)^2 (3) 因为 (b+c)^2*(lb+lc)^2=[(blb+clc)+(clb+blc)]^2 = 2∑(bc)^2>=(blb+clc)^2+(clb+blc)^2 (b^2+c^2)*[(lb)^2+(lc)^2]+4bclb*lc= (b^2+c^2)(4a^2+b^2+c^2)+16bclb*lc= 4(ab)^2+4(ac)^2+4(bc)^2-(b^2-c^2)^2>=16bclb*lc (4) 注意恒等式: [4a^2*(b^2+c^2)+4(bc)^2-(b^2-c^2)^2]^2-[16bclb*lc]^2 =[(4a^2-b^2-c^2)^2+20(bc)^2]*(b^2-c^2)^2>=0 故(4)式成立。
  所证不等式得证。 。收起