求方程5x-3y=-7的正整数解。
解:原方程X=(3y-7)/5
即X=-2+[3(y+1)]/5 (1)
Y=4时,x=1
即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解,因此,原方程的所有整数解为
X=1-3k
(k为任意整数)
Y=4-5k
再令X大于0,y大于0,即有不等式组
1-3k大于0
4-5k大于0
解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,…时原方程可得到无穷多组正整数解
X=1-3k
(k=0,-1,-2,…)
Y=4-5k
请问,第(1)步是如何得到的?它依据了什么定理没有?请详答。
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5x - 3y = -7 x = (3y - 7)/5 = (3y + 3 - 7 - 3)/5 = [3(y + 1) - 10]/5 = -2 + 3(y + 1)/5 金师傅的回答非常通用,建议粘贴并存档,以便需要时参考。
这是求二元一次不定方程的通解问题:
对于一般的二元一次不定方程ax+by=c
若x=m 、y=k是它的一个已知的整数解
则x=m+bn 、y=k-an就是它的一个通解。
(其中n、m、k都是整数)
证明很简单,因为x=m 、y=k是它的一个解
所以am+bk=c
当x=m+bn 、y=k-an时,
ax+by=a(m+bn)+b(k-an)=am+nb=c
即x=m+bn、y=k-an是方程的解。
对于第一步:x=-2+[3(y+1)]/5 =(3y-7)/5
我们只要试出一个特定的解x=1、y=4就行了。
怎么试呢?一般的方法用口算,否则用孙子定理或同余理论,不过它们比口算更难口算。
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