解不定方程 求满足x^2*y-2xy+x^2+y-2x=1983的整数对(x,y) 。
求满足 x^2*y-2xy+x^2+y-2x=1983的整数对(x,y) 。
解 原式变形为:(x-1)^2*(y+1)=2^6*31,
因为x,y为整数,所以共有四种组合,即
(x-1)^2=1; y+1=2^6*31,
(0,1983),(2,1983) 。
(x-1)^2=2^2; y+1=2^4*31,
(-1,495),(3,495) 。
(x-1)^2=2^4; y+1=2^2*31,
(-3,123),(5,123) 。
(x-1)^2=2^6; y+1=31,
(-7,30),(9,30) 。
所以满足x^2*y-2xy+x^2+y-2x=1983的整数对(x,y)有八对。
。
将方程变换成(y+1)x^2-2(y+1)x+y-1983=0,其判别式=4(y+1)^2-4(y+1)(y-1983)=16^2*31(y+1),依题意,判别式必须为完全平方式,故y+1=31t^2,即y=31t^2-1,代回原式得x=2土16/t;可见,t=士1,士2,士4,士8。
因此代回得8个整数对(x,y)=(18,30),(-14,30),(10,123),(-6,123)太多写不完了!。