不定方程问题

    不定方程 x1+x2+x3+……xm=n（n≥m）的正整数解中的每一个分量xi(i=1,2,。。,m)至少为1且至少有一个不小于1，这样我们把n看成是由n个1组成的正整数，它们之间有n-1个空格（此时不算头尾的两个空），然后用m-1个挡板进行插空，就可以得到m堆数,每一堆数对应一个分量xi(i=1,2,。
    。。,m)。这样的组合数有C(n-1,m-1)种，就是不定方程的正整数解数。 这个是比较简单的，求完这个后，就可以相应的求不定方程 x1+x2+。。。+xk=r --------------------（1） (k,r属于正整数）的非负整数解的个数。
     方程（1）的求法有好多种，一种就是转化成为上面所求的。 另外还可以用生成函数求解：我们可以这样理解，先考虑x1,x1最小可以取0，最大可以最r;同理对于其它的xi(i=2,3,。
  。。,k)也一样，但是它们必同时满足（1）（这里有点?铝耍缓靡馑迹? 生成函数G(x)=(1+y+y^2+。  。。+y^r)(1+y+y^2+。。。+y^r)。。。
  (1+y+y^2+。。。+y^r)（总共有k个因式相乘，每个因式对应一个xi(i=1,2,。。。,k))是个幂级数，其中y^r的系数a(r)就是（1）的非负整数解个数。 第i个因式（1+y+y^2+。
  。。+y^r)中的y^mi(mi=0,1,。  。。,r)表示xi取mi,由于每个因式都这样，最终乘出来时的y^r是k个y^mi个相乘，得到 r=m1+m2+。。。+mk,与（1）有相同的解。
   至于生成函数的系数怎么求，由于我们考虑的幂级数都是收敛的， 所以生成函数G(x)=[1/(1-y)]^k,最终可以像用二项式定理的展开那样，系数用组合的形式写成一个和式。  由于符号在这里不好写，所以在这里就略了，还请见谅。
   。

方程x1+x2+......+xm=n(m,n是满足m=<n的正整数)的解的个数把问题看成:ｎ个小球排列在一个槽中,要用ｍ-1个隔板把这些球隔开,得到ｍ个数据.就是从ｎ-1个"空"中选取ｍ-1个,所以共有 C(n-1),m-1)=(n-1)!/[(m-1)!(n-m)!]个不同的解.

    m个人分n块不同的地，n>=m，求所有的解个数 如果允许有人分不到地 n的m次方 如果不允许有人没有分到地的话 结果是 （2的（n-1）次方-1）* （2的（n-2)次方-1）*…………* （2的（n-m+1)次方-1） 证明： 这里因为打不出一些数学符号，设2的x次方为2^x,组合数从n中选出m个为C(n,m), 设n块地分给m个人解法为Km个，n块地分给m+1个人解法为K(m+1)个，于是有 K（m+1)=Km(C(n-m,1)+C(n-m,2)+……+C(n-m,n-m)) (1) =Km(2^(n-m)-1) 而易知K1=1,所以就得到 Km=（x^（n-1-1）* （2^（n-2)-1）*…………* （2^（n-m+1)-1） 解释一下(1)式，意思为设已经分给了m个人，每个人依次分到的是i1，i2，……,im个，而又添一个人，于是第(m+1)个人可以获得从1到（n-m)这些树木的地块 对于1来说，就是从已经分处的地中，减去每个人必须占有的一块地，即剩（n-m）块中组合，即C（n-m,1),其他可以类推 ：）。
    。