不定方程组
求方程组 x+y=zt x+t=xy 的正整数解.
全部回答
1。
x,y,z,t为正整数
==>
x-1,y-1,z-1,t-1为非负整数
2。
(x-1)(y-1)+(t-1)(z-1)=2
==>
(x-1)(y-1)=2,(t-1)(z-1)=0 (1)
(x-1)(y-1)=(t-1)(z-1)=1 (2)
(x-1)(y-1)=0,(t-1)(z-1)=2 (3)
==>
(1)==>
(x,y,z,t)=(3,2,z,1),(3,2,1,t),(2,3,z,1),(2,3,1,t),
再将其代入原方程得：
(x,y,z,t)=(3,2,５,1),(3,2,1,５),(2,3,５,1),(2,3,1,５),
（２）＝＝＞
(x,y,z,t)=(2,2,2,2)
（３）和（１）同理得
(x,y,z,t)=(５，１，3,2),(１，５，3,2),(５，１，2,3,),
(１，５，2,3)．
共９组解．。
由于z与t对称。不妨设z≥t。如果t≥3,则x+y≥3z。
而xy-(x+y)+1=(x-1)(y-1)≥0,故xy≥3z-1。从而z+t≥3z-1。
据此,(t+1)/2≥z≥t,即2t≤t+1,故t≤1。
与t≥3矛盾。因此t≤2。
类似地,若设y≤x,则有y≤2。 则分类讨论如下：
(1)t=1,y=1。原方程组为
x+1=z
z+1=x
相加得矛盾；
(2)t=1,y=2,由方程组
x+2=z
z+1=2x
解得x=3,y=5
(3)t=2,y=2,由
x+1=2z
z+2=x
解得x=5,y=3
(4)t=4,y=2。
由
x+2=2z
z+2=2x
解得x=2,y=2
故原方程组的解为
x=3,y=2,z=5,t=1
x=5,y=1,z=3,t=2
x=2,y=2,z=2,t=2
此外,由于z≥t和x≥y的假设破坏了对称性,故还有另外的六组解
x=3,y=2,z=1,t=5
x=2,y=3,z=5,t=1
x=2,y=3,z=1,t=5
x=1,y=5,z=3,t=2
x=1,y=5,z=2,t=3
x=5,y=1,z=2,t=3
因此有九解。
。
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