方程解的问题

不定方程解的个数

　　解答：我在爱问中曾回答过此类问题 　　设x1+x2=…+xi=K（1≤K≤n）有A(K)种不同满足要求解，按条件不难得出： A(1)=1,A(2)=2,…,A(N)=2^(m-1) 当1≤K≤m时 A(K)=A(K-1)+A(K-2)+…+A(K-m) 当K＞m时 　　通过上式不断迭代求出需要的A(n)，但若不用编程或不采用大数计算器，很难正确求得正确结果。 　　下面想法找出一般计算公式求A(n)： 上面方程的特征方程为 x^m-x^(m-1)-…-x-1=0 (1) 解为 A(n)=C(1)*z(1)^n+C(2)*z(2)^n+…+C(m)*z(m)^n...全部

  　　解答：我在爱问中曾回答过此类问题 　　设x1+x2=…+xi=K（1≤K≤n）有A(K)种不同满足要求解，按条件不难得出： A(1)=1,A(2)=2,…,A(N)=2^(m-1) 当1≤K≤m时 A(K)=A(K-1)+A(K-2)+…+A(K-m) 当K＞m时 　　通过上式不断迭代求出需要的A(n)，但若不用编程或不采用大数计算器，很难正确求得正确结果。
   　　下面想法找出一般计算公式求A(n)： 上面方程的特征方程为 x^m-x^(m-1)-…-x-1=0 (1) 解为 A(n)=C(1)*z(1)^n+C(2)*z(2)^n+…+C(m)*z(m)^n 其中C(i),i=1,…,m是常数，z(i),i=1,…,m是方程（1）的m个根。
   　　仔细分析后可知，这m个根中有且只有1个根的模大于1(1实根。 所以， A(n)= round{(1-r)/(2m-(m+1)r)*r^n } （2） 其中round(y)为最接近y的整数，即y四舍五入得到的整数。
   计算公式（2）是严格精确的，实际计算可能的误差只是计算过程中产生的误差。 例如，m=4时，r≈1。9275619754829253 按（2）式很容易算得A(30)=201061985，A(45)= 3788394725871 经验算，这两个结果正确。
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