不定方程

证明: 不定方程(x+1)^y-x^z=1,x,y,z＞1.仅有一组正整数解: x=2,y=2,z=3

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2011-08-07

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如果x是奇数,那么等式右边是y个偶数的和为偶数,左边为奇数,不满足,所以x是偶数,从而y是偶数设y=2t,t是正整数,那么(x+1)^y-1=[(x+1)^t-1][(x+1)^t+1],其中(x+1)^t-1和(x+1)^t+1是相邻的偶数,所以(x+1)^t-1和(x+1)^t+1的最大公约数是2 而(x+1)^y-1=x^z,从而x是2的约数,又x>1,所以x=2 从而(x+1)^t-1和(x+1)^t+1都是2的整数次幂而相邻偶数中都为2的整数次幂的只有2和4,从而(x+1)^t-1=2,(x+1)^t+1=4,所以t=1,y=2t=2,z=3 所以只有唯一解x=y=2,z=3。
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