不定方程

不定方程证明:对任何自然数N大于等于3,数字2的N次方可以表示成7乘以X的2次方与Y的2次方的和的形式,其中X和Y都是奇数.

1。 设a(3)=1,b(3)=1, a(k+1)=[a(k)-7*b(k)]/2 b(k+1)=[a(k)+b(k)]/2 可用归纳法易得: 2^k=a(k)^2+7*b(k)^2,k≥3。 下面证明:a(k),b(k)为奇数。先证明命题如下: 记整数被8除的余数集合: A=Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}, B={(1,1),(1,5),(5,1),(5,5),(3,3),(3,7),(7,3),(7,7)} 为A×A的子集。 命题:当(x,y)∈B,(X,Y)满足下面的方程: 2X=x-7y 2Y=x+y 则(X,Y)∈B。 证:(x,y)=(1,1),(5,5)...全部

  1。 设a(3)=1,b(3)=1, a(k+1)=[a(k)-7*b(k)]/2 b(k+1)=[a(k)+b(k)]/2 可用归纳法易得: 2^k=a(k)^2+7*b(k)^2,k≥3。
   下面证明:a(k),b(k)为奇数。先证明命题如下: 记整数被8除的余数集合: A=Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}, B={(1,1),(1,5),(5,1),(5,5),(3,3),(3,7),(7,3),(7,7)} 为A×A的子集。
   命题:当(x,y)∈B,(X,Y)满足下面的方程: 2X=x-7y 2Y=x+y 则(X,Y)∈B。 证:(x,y)=(1,1),(5,5),(3,7),(7,3) ==> 2X=2 2Y=2 ==> X=1,5 Y=1,5 ==> (X,Y)∈B。
   (x,y)=(1,5),(5,1),(3,3),,(7,7) 2X=6 2Y=6 ==> X=3,7 Y=3,7 ==> (X,Y)∈B。 2。 利用上面命题,和1。
  的设。 可归纳法得:a(k),b(k)为奇数。 所以你的命题成立。 。收起