分式不等式证明

设1/a+1/b+1/c=1(a、b、c＞0)，n∈N+. 证明:a^n/(a+2b+3c)+b^n/(b+2c+3a)+c^n/(c+2a+3b)≥3^n/6。

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2012-12-20

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    解: 当n=1时，作代换 a+2b+3c=x，b+2c+3a=y，c+2a+3b=z，则 a/(a+2b+3c)+b/(b+2c+3a)+c/(c+2a+3b) =(-5x+7y+z)/18x+(x-5y+7z)/18y+(7x+y-5z)/18z =(7/18)·(y/x+z/y+x/z)+(1/18)·(z/x+x/y+y/z)-5/6 ≥3(7/18+1/18)-5/6 =1/2。
     又依Cauchy不等式，得 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9 →a+b+c≥9。当n≥2时，依幂平均不等式得 [(a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2))/3]^(2/n) ≥(a+b+c)/3 →[(a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2))/3]^2/(a+b+c) ≥(9/3^n)(a+b+c)^(n-1) ≥(9/3^n)·9^(n-1) =3^n。
     再由权方和不等式得， a^n/(a+2b+3c)+b^n/(b+2c+3a)+c^n/(c+2a+3b) ≥[a^(n/2)+b^(n/2)+c^(n/2)]^2/[6(a+b+c)] ≥3^n/6。
   综上知，原不等式得证。

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