线性代数的问题设A,B都是m*n
子空间的方法：
设KerA={X,AX=0}。
我们有DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB），
KerA+KerB是R^n的子空间,所以Dim（KerA+KerB）≤n。
X∈KerA∩KerB，AX=BX=0，则（A+B）X=0，X∈Ker（A+B）
所以KerA∩KerB是Ker（A+B）的子空间，
Dim（KerA∩KerB）≤DimKer（A+B），
所以DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB）≤
≤n+DimKer（A+B）
又有DimKerA+DimKerB=n-ran...全部
子空间的方法：
设KerA={X,AX=0}。
我们有DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB），
KerA+KerB是R^n的子空间,所以Dim（KerA+KerB）≤n。
X∈KerA∩KerB，AX=BX=0，则（A+B）X=0，X∈Ker（A+B）
所以KerA∩KerB是Ker（A+B）的子空间，
Dim（KerA∩KerB）≤DimKer（A+B），
所以DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB）≤
≤n+DimKer（A+B）
又有DimKerA+DimKerB=n-rank(A)+n-rank(B)≤n+DimKer（A+B）=
=n+n-rank(A+B)，
所以rank（A＋B）≤rank(A)+rank(B)。
还有其他解法：如将A变换为阶梯型矩阵。
初等变换的方法：
设rankA。=r, rank(B)=s
初等变换的原理1)：若Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵,则
rankCAD= rankA。
。
初等变换的原理2)：有Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵，使
CAD=（e1,e2,。。,er,0,0,。。0）=A’，ek为第k个元素=1，其他=0的列向量
3)有 rank(CBD)=s,。
设CBD=B’=（b1,b2,。。bn）,{b1,b2,。。bn}为列向量。
A’+B’=(e1+b1,e2+b2,…er+br,b(r+1),。。bn)=(f1,f2,。。fn)
从{f1,f2,。
。fn}中取r +s+1个向量，则至少有s+1个向量不含{e1,e2, er}
即这s+1个向量在{b1,b2,。。bn}中，由于rank(B’)=s,所以这s+1个向量
线性相关，得r +s+1个向量线性相关，
所以rank（A’+B’） ≤r +s
rank（A’+B’）= rank（C(A+B)D）= rank（A＋B）≤r +s=rank(A)+rank(B)
补：若n ≤r +s，则rank（A’+B’）≤n ≤r +s。
。收起
