线性代数的问题
设A,B都是m*n矩阵，证明rank（A＋B）＜＝rank(A)+rank(B)大家多帮帮忙，解出这个题很有成就感的！
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设A,B都是m*n矩阵，证明
rank（A＋B）<＝rank(A)+rank(B)
大家多帮帮忙，解出这个题很有成就感的！
有你们做的这样复杂吗?!!!!!!!
这就是一个公式嘛!
证明：设Ｒ（Ａ）＝s
R(Ｂ）=t
不妨设a1,a2。
。。。。 as为Ａ的列向量的一个极大无关组成 b1,b2。。。。bt为Ｂ的列向量的一个极大无关组成 由于向量和它的极大无关组等价 有传递性质Ａ＋Ｂ的列向量可由向量组a1,a2。
。。。。asb1,b2。。。。bt线形表示 所以Ｒ（Ａ＋Ｂ）＝（Ａ＋Ｂ）的列秩＜＝Ｒ（a1,a2。 。。。。asb1,b2。。。。bt)＜＝s+t=Ｒ（Ａ)＋Ｒ(Ｂ） Ｒ（Ａ＋Ｂ）＜＝Ｒ（Ａ)＋Ｒ(Ｂ） PS:我们课本就是这样证的！！！！！！！！！！！！！！。
。。。。 as为Ａ的列向量的一个极大无关组成 b1,b2。。。。bt为Ｂ的列向量的一个极大无关组成 由于向量和它的极大无关组等价 有传递性质Ａ＋Ｂ的列向量可由向量组a1,a2。
。。。。asb1,b2。。。。bt线形表示 所以Ｒ（Ａ＋Ｂ）＝（Ａ＋Ｂ）的列秩＜＝Ｒ（a1,a2。 。。。。asb1,b2。。。。bt)＜＝s+t=Ｒ（Ａ)＋Ｒ(Ｂ） Ｒ（Ａ＋Ｂ）＜＝Ｒ（Ａ)＋Ｒ(Ｂ） PS:我们课本就是这样证的！！！！！！！！！！！！！！。
子空间的方法：
设KerA={X,AX=0}。
我们有DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB），
KerA+KerB是R^n的子空间,所以Dim（KerA+KerB）≤n。
X∈KerA∩KerB，AX=BX=0，则（A+B）X=0，X∈Ker（A+B） 所以KerA∩KerB是Ker（A+B）的子空间， Dim（KerA∩KerB）≤DimKer（A+B）， 所以DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB）≤ ≤n+DimKer（A+B） 又有DimKerA+DimKerB=n-rank(A)+n-rank(B)≤n+DimKer（A+B）= =n+n-rank(A+B)， 所以rank（A＋B）≤rank(A)+rank(B)。
还有其他解法：如将A变换为阶梯型矩阵。 初等变换的方法： 设rankA。=r, rank(B)=s 初等变换的原理1)：若Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵,则 rankCAD= rankA。
。 初等变换的原理2)：有Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵，使 CAD=（e1,e2,。 。,er,0,0,。。0）=A’，ek为第k个元素=1，其他=0的列向量 3)有 rank(CBD)=s,。
设CBD=B’=（b1,b2,。。bn）,{b1,b2,。。bn}为列向量。 A’+B’=(e1+b1,e2+b2,…er+br,b(r+1),。 。bn)=(f1,f2,。
。fn) 从{f1,f2,。。fn}中取r +s+1个向量，则至少有s+1个向量不含{e1,e2, er} 即这s+1个向量在{b1,b2,。。bn}中，由于rank(B’)=s,所以这s+1个向量 线性相关，得r +s+1个向量线性相关， 所以rank（A’+B’） ≤r +s rank（A’+B’）= rank（C(A+B)D）= rank（A＋B）≤r +s=rank(A)+rank(B) 补：若n ≤r +s，则rank（A’+B’）≤n ≤r +s。
。
X∈KerA∩KerB，AX=BX=0，则（A+B）X=0，X∈Ker（A+B） 所以KerA∩KerB是Ker（A+B）的子空间， Dim（KerA∩KerB）≤DimKer（A+B）， 所以DimKerA+DimKerB=Dim（KerA+KerB）+ Dim（KerA∩KerB）≤ ≤n+DimKer（A+B） 又有DimKerA+DimKerB=n-rank(A)+n-rank(B)≤n+DimKer（A+B）= =n+n-rank(A+B)， 所以rank（A＋B）≤rank(A)+rank(B)。
还有其他解法：如将A变换为阶梯型矩阵。 初等变换的方法： 设rankA。=r, rank(B)=s 初等变换的原理1)：若Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵,则 rankCAD= rankA。
。 初等变换的原理2)：有Cm*m为可逆矩阵,Dn*n为可逆矩阵，使 CAD=（e1,e2,。 。,er,0,0,。。0）=A’，ek为第k个元素=1，其他=0的列向量 3)有 rank(CBD)=s,。
设CBD=B’=（b1,b2,。。bn）,{b1,b2,。。bn}为列向量。 A’+B’=(e1+b1,e2+b2,…er+br,b(r+1),。 。bn)=(f1,f2,。
。fn) 从{f1,f2,。。fn}中取r +s+1个向量，则至少有s+1个向量不含{e1,e2, er} 即这s+1个向量在{b1,b2,。。bn}中，由于rank(B’)=s,所以这s+1个向量 线性相关，得r +s+1个向量线性相关， 所以rank（A’+B’） ≤r +s rank（A’+B’）= rank（C(A+B)D）= rank（A＋B）≤r +s=rank(A)+rank(B) 补：若n ≤r +s，则rank（A’+B’）≤n ≤r +s。
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