设a,b,c为正数，且a+b+c
设a,b,c为正数，且a+b+c=1，求证1/a+1/b+1/c>=25/(1+48abc)
简证 首先对所证不等式齐次化处理,等价于
∑bc/(abc)≥25(∑a)^2/[(∑a)^3+48abc] (1)
∑bc*(∑a)^3≥25abc∑a^2+2abc∑bc (2)
下用两种方法证明(2)式
第一种方法:将(2)式化为三角形s,R,r形式,即
r(4R+r)*s^3≥25r^2*s*(s^2-8Rr-2r^2)+2r^3*s(4R+r)
(R-6r)s^2+12r^2*(4R+r)≥0 (3)
关...全部
设a,b,c为正数，且a+b+c=1，求证1/a+1/b+1/c>=25/(1+48abc)
简证 首先对所证不等式齐次化处理,等价于
∑bc/(abc)≥25(∑a)^2/[(∑a)^3+48abc] (1)
∑bc*(∑a)^3≥25abc∑a^2+2abc∑bc (2)
下用两种方法证明(2)式
第一种方法:将(2)式化为三角形s,R,r形式,即
r(4R+r)*s^3≥25r^2*s*(s^2-8Rr-2r^2)+2r^3*s(4R+r)
(R-6r)s^2+12r^2*(4R+r)≥0 (3)
关于不等式(3),我们给出更一般的结论:
在三角形ABC中,对t≥0,总有
[R-t(t+1)r]s^2+r(4R+r)[(t^2-4)R+(t^2+3t+2)r]≥0 (4)
(4)式是关于t的一元两次式,然后判别式证明。
在(4)中,取t=2即得(3)式。
第二种方法 (2)式化简展开为:
∑a^4*(b+c)+3∑a^3*(b^2+c^2)-18abc∑a^2+10abc∑bc≥0 (5)
不失一般性,设a=max(a,b,c),(5)式分解为
[a^2*(b+c)-8abc+(b+c)^3]*(a-b)*(a-c)+
2a(2a^2+ab+ac+b^2+c^2-5bc)*(b-c)^2≥0 (6)
∵a^2*(b+c)+(b+c)^3≥2a(b+c)^2≥8abc
2a^2+ab+ac+b^2+c^2-5bc>0
∴(6)式成立。
易验证当a=b=c或a:b:c=2:1:1时等号成立。
。收起
