证明题
设a、b、c＞0，证明：(a^2+2)(b^2+2)(c^2)＞=9(ab+bc+ca).
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(这是一道美国数学奥林匹克试题，证法非常多，其中最简洁的是陈计老师的证法，也就是一楼和四楼从网上抄的方法，其他还有作差法、三角代换法、判别式法等等)
下面用抽屉原理证明：
由抽屉原理，不妨设a、b同时大于等于1，或同时小于等于1。
则c^2(a^2-1)(b^2-1)≥0 →a^2b^2c^2+c^2≥a^2c^2+b^2c^2……① 由均值不等式有 ∑a^2b^2+3≥2∑ab……② 另，∑a^2≥∑ab……③ 由②×2+③×3，可得 2∑a^2b^2+3∑a^2+6≥7∑ab……④ 而依①知 2+a^2b^2c^2+∑a^2 ≥a^2+b^2+a^2c^2+b^2c^2+2 =(a^2+b^2)+(a^2c^2+1)+(b^2c^2+1) ≥2ab+2ac+2bc……⑤ 由④+⑤得 a^2b^2c^2+2∑a^2b^2+4∑a^2+8≥9∑ab 即(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥9(ab+bc+ca)。
则c^2(a^2-1)(b^2-1)≥0 →a^2b^2c^2+c^2≥a^2c^2+b^2c^2……① 由均值不等式有 ∑a^2b^2+3≥2∑ab……② 另，∑a^2≥∑ab……③ 由②×2+③×3，可得 2∑a^2b^2+3∑a^2+6≥7∑ab……④ 而依①知 2+a^2b^2c^2+∑a^2 ≥a^2+b^2+a^2c^2+b^2c^2+2 =(a^2+b^2)+(a^2c^2+1)+(b^2c^2+1) ≥2ab+2ac+2bc……⑤ 由④+⑤得 a^2b^2c^2+2∑a^2b^2+4∑a^2+8≥9∑ab 即(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥9(ab+bc+ca)。
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