设a,b,c>0,证明：a^2/
这是一道灰常简单的题目，证法很多，但作差法和综合法都不是最简洁的，
下面再举两法：
(1)
依均值不等式得(属综合法)
(a^2/b)+b≥2a，
同理可得
(b^2/c)+c≥2c，
(c^2/a)+a≥2a。
三式相加后，两边减(a+b+c)即得
a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
(2)
依Cauch不等式，得
(b+c+a)(a^2/b+b^2/c+c^2/a)≥(a+b+c)^2，
上式两边除以a+b+c，得所证式：
a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
既然楼主有特殊要求，那么再补充一下吧:
(3)
其实以上方法一、方法二就是综合法!
(4)作...全部
这是一道灰常简单的题目，证法很多，但作差法和综合法都不是最简洁的，
下面再举两法：
(1)
依均值不等式得(属综合法)
(a^2/b)+b≥2a，
同理可得
(b^2/c)+c≥2c，
(c^2/a)+a≥2a。
三式相加后，两边减(a+b+c)即得
a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
(2)
依Cauch不等式，得
(b+c+a)(a^2/b+b^2/c+c^2/a)≥(a+b+c)^2，
上式两边除以a+b+c，得所证式：
a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
既然楼主有特殊要求，那么再补充一下吧:
(3)
其实以上方法一、方法二就是综合法!
(4)作差法:
(a^2/b+b^2/c+c^2/a)-(a+b+c)
=[(a^2/b)+b]+[(b^2/c)+c]+[(c^2/a)+a]-2(a+b+c)
≥2a+2b+2c-2(a+b+c) (均值不等式)
=0，
∴a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
(5)
用排序不等式证明亦可(属综合法):
不妨设a>b>c>0，则
a^2/b+b^2/c+c^2/a
≥a^2/a+b^2/b+c^2/c
=a+b+c，
∴a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c。
收起
