求椭圆切线交点轨迹
求椭圆所有互相垂直的切线交点点轨迹。
全部回答
设椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2＝1,
两切线交点为(x0,y0),
以切线y-y0＝k(x-x0)代入椭圆整理得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(y0-kx0)x+a[(y0-kx0)^2-b^2]＝0
∴△＝a^4k^2(y0-kx0)^2-(a^2k^2+b^2)a^2[(y0-kx0)^2-b^2]＝0
→(a^2-x0^2)k^2+2x0y0k+(b^2-y^2)＝0。
两切线互相垂直则k1k2＝-1，
∴(b^2-y^2)/(a^2-x0^2)＝-1
→x0^2+y^2＝a^2+b^2。
此为椭圆中心为圆心、√(a^2+b^2)为半径的圆。
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