求证:双曲线C1:x^2-y^2=5与椭圆C:4x^2+9y^2=72在交点处的切线互相垂直。
双曲线的导数:2x-2ydy/dx=0。。。dy/dx=x/y
椭圆的导数:8x+18ydy/dx=0。。。dy/dx=-4x/9y
x²-y²=5。
。。y²=x²-5。。。①
4x²+9y²=72。 。。②
①代入②得13x²-117=0。。。
解得x=3,-3求出y后得出交点:
(3,2) (-3,-2) (-3,2) (3,-2)
两个曲线的导数相乘:(x/y)(-4x/9y)=-4x²/9y²
将4个交点代入-4x²/9y²后结果都是-1,所以双曲线C1与椭圆C在交点处的切线互相垂直(斜率乘积为-1所以切线互相垂直)。