求椭圆两互相垂直的两切线交点轨迹
求椭圆两互相垂直的切线交点轨迹
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解:交点为(x0,y0)
椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1)
切线:y-y0=k(x-x0) (2)
以(2)代入(1)整理,得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(y-kx0)x+a[(y-kx0)^2-b^2]=0
直线与椭圆相切则判别式为0:
a^4k^2(y0-kx0)^2-(a^2k^2+b^2)a^2[(y0-kx0)^2-b^2]=0
--->(a^2-x0^2)k^2+2x0y0k+(b^2-y0^2)=0
两切线垂直则k1*k2=-1
故依韦达定理得:
(b^2-y0^2)/(a^2-x0^2)=-1
--->x0^2+y0^2=a^2+b^2
这是以椭圆中心为圆心、根(a^2+b^2)为半径的圆。
。
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