几何证明1过椭圆(或双曲线)焦点弦端点的两切线交点在其对应准线上。
设椭圆(双曲线)方程为x^/m+y^/n=1,(m>n>0,或m>0>n),①
右焦点F(c,0),右准线:x=m/c,其中c=√(m-n),
设焦点弦:x=ky+c,②
代入①,n(k^y^+2cky+c^)+my^=mn,
(nk^+m)y^+2cny+nc^-mn=0,nc^-mn=-n^,
设弦的两端为A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1^/m+y1^/n=1,③
x2^/m+y2^/n=1,④
y1+y2=-2cn/(nk^+m),y1y2=-n^/(nk^+m),
切线分别是x1x/m+y1y/n=1,⑤
x2x/m+y2y/n=1,⑥
⑤-⑥,(x1-x2)x/m+(...全部
设椭圆(双曲线)方程为x^/m+y^/n=1,(m>n>0,或m>0>n),①
右焦点F(c,0),右准线:x=m/c,其中c=√(m-n),
设焦点弦:x=ky+c,②
代入①,n(k^y^+2cky+c^)+my^=mn,
(nk^+m)y^+2cny+nc^-mn=0,nc^-mn=-n^,
设弦的两端为A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1^/m+y1^/n=1,③
x2^/m+y2^/n=1,④
y1+y2=-2cn/(nk^+m),y1y2=-n^/(nk^+m),
切线分别是x1x/m+y1y/n=1,⑤
x2x/m+y2y/n=1,⑥
⑤-⑥,(x1-x2)x/m+(y1-y2)y/n=0,
y=-n(x1-x2)x/[m(y1-y2)]=-knx/m,(由②),
代入⑤,(ky1+c)x/m-ky1x/m=1,
∴x=m/c,
∴命题成立。
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