已知椭圆x^2+y^2/4=1和直线y=2x+m恒有两个不同的交点,求两交点连线段中点的轨迹方程
设交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), AB的中点坐标为P(x,y)
根据中点公式 2x=x1+x2 , 2y=y1+y2
直线 y = 2x + m 代入 4x² + y² = 4
消去y,并整理得 8x² + 4mx + m²-4 = 0
由 x = (x1+x2)/2 = -m/4 ==> m = -4x
又 y = 2x + m
消去m,得 y = -2x
另外,由 △ = (4m)²-32(m²-4) > 0 得 |m| < 2√2
而 -4x = m
所以 |x| < (√2)/2
所以中点的轨迹方程为 y = -2x ( -(√2)/2 < x < (√2)/2 )
轨迹是 直线 y=-2x 在已知椭圆内的线段。
。
假设交点为(x1,y1)(x2,y2),中点坐标为(x,y)
根据中点公式 2x=x1+x2 2y=y1+y2
直线y=2x+m代入x^2+y^2/4=1
1。x^2+(2x+m)^2/4=1
8x^2+4mx+m^2-4=0
x1+x2=-m/2=2x
2。
〔(y-m)/2〕^2+y^2/4=1
2y^2-2mx+m^2-4=0
y1+y2=m=2y
把m消去,得到: y=-x。