第十一届全国“华罗庚金杯”少年数
(1)
重合的刻度线把木棍分成x+1段,每段长L/(x+1)
设每段除两端外有p条不重复的红刻度
则(p+1)*L/m=L/(x+1)
m=(p+1)(x+1)
x+1是m的约数
同理,x+1是n的约数
x+1是m和n的公约数
(2)
设有x条重合刻度
则木棍上有刻度[重合的算作1条](m-1)+(n-1)-x
(m-1)+(n-1)-x+1=170
m+n-x-1=170。 。。。。。。。。。。。。。①
m>n,不重合的黑色刻度线一定在两条红色刻度线之间
且两条红色刻度线之间最多1条黑色刻度线,
它把红色刻度线之间部分分成两段
黑色刻度线除去重合的,还有n-1-x条
最长的小棍是两红色...全部
(1)
重合的刻度线把木棍分成x+1段,每段长L/(x+1)
设每段除两端外有p条不重复的红刻度
则(p+1)*L/m=L/(x+1)
m=(p+1)(x+1)
x+1是m的约数
同理,x+1是n的约数
x+1是m和n的公约数
(2)
设有x条重合刻度
则木棍上有刻度[重合的算作1条](m-1)+(n-1)-x
(m-1)+(n-1)-x+1=170
m+n-x-1=170。
。。。。。。。。。。。。。①
m>n,不重合的黑色刻度线一定在两条红色刻度线之间
且两条红色刻度线之间最多1条黑色刻度线,
它把红色刻度线之间部分分成两段
黑色刻度线除去重合的,还有n-1-x条
最长的小棍是两红色刻度线之间没有黑色刻度线部分
m-(n-1-x)=100
m-n+x+1=100。
。。。。。。。。。。。。。
②
①+②
2m=270,m=135
代入②:
n-(x+1)=35
由(1)知:(x+1)是m和n的公约数
设n=p(x+1)
(p-1)(x+1)=35=5*7
若p=2,
x+1=35不是135的约数
若p=6,
x+1=7不是135的约数
若p=8,
x+1=5,n=40
当m=135,n=40,有4条重复刻度,符合题意
若p=36,
x+1=1,n=36
当m=135,n=36,有8条重复刻度,矛盾
所以:m=135,n=40。收起
