求椭圆的所有互相垂直的两切线交点的轨迹.
全部回答
设x^2/a^2+y^2/b^2=1两互相垂切线交点为(x0,y0),
则切线为y-y0=k(x-x0)。
切线代入椭圆整理,得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k(y-kx0)x+a[(y-kx0)^2-b^2]=0。
上式判别式为0,故
△=a^4k^2(y-kx0)^2-(a^2k^2+b^2)a^2[(y-kx0)^2-b^2]=0
即(a-x0^2)k^2+2x0y0k+(b^2-y0^2)=0
因切线两两垂直相交,
即上述关于k的方程中有k1*k2=-1,
故依韦达定理得
(b^2-y0^2)/(a^2-x0^2)=-1
即所求轨迹方程为:
x0^2+y0^2=a^2+b^2。
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