已知以原点为圆心的圆上任意一点的切线与椭圆恒有两个交点A、B，且AO垂直BO，求圆方程

（2015•仁寿县模拟）设椭圆E：x2a2 y2b2=1(a、b＞0)过M(2，...

解：（1）因为椭圆E：x2a2 y2b2=1（a，b＞0）过M（2，2），N（6，1）两点，所以4a2 2b2=16a2 1b2=1，解得1a2=181b2=14，所以a2=8b2=4，所以椭圆E的方程为x28 y24=1（5分）（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y=kx m．解方程组y=kx mx28 y24=1得x2 2（kx m）2=8，即（1 2k2）x2 4kmx 2m2-8=0，则△=16k2m2-4（1 2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2 4）＞0，即8k2-m2 4＞0，设A（x1，y1），...全部

  解：（1）因为椭圆E：x2a2 y2b2=1（a，b＞0）过M（2，2），N（6，1）两点，所以4a2 2b2=16a2 1b2=1，解得1a2=181b2=14，所以a2=8b2=4，所以椭圆E的方程为x28 y24=1（5分）（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB，设该圆的切线方程为y=kx m．解方程组y=kx mx28 y24=1得x2 2（kx m）2=8，即（1 2k2）x2 4kmx 2m2-8=0，则△=16k2m2-4（1 2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2 4）＞0，即8k2-m2 4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x2=-4km1 2k2x1x2=2m2-81 2k2（7分）y1y2=(kx1 m)(kx2 m)=k2x1x2 km(x1 x2) m2=k2(2m2-8)1 2k2-4k2m21 2k2 m2=m2-8k21 2k2．要使OA⊥OB，需使x1x2 y1y2=0，即2m2-81 2k2 m2-8k21 2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0．又8k2-m2 4＞0，所以m2＞23m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263，因为直线y=kx m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=|m|1 k2，所以r2=m21 k2=m21 3m2-88=83，所以r=263，所以所求的圆为x2 y2=83，此时圆的切线y=kx m都满足m≥263或m≤-263，而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263与椭圆x28 y24=1的两个交点为(263，±263)或(-263，±263)，满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆x2 y2=83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB．（13分）。
  收起