有五条棱长都等于a。求该四面体的体积的最大值?求其表面积?
设四面体PA=PB=AB=AC=BC=a,PC=x,可以看作正三角形ABC不动,而正三角形PAB沿轴AB转动,x(PC是变化的),取AB中点D,连结PD、CD,∵△PAB和△CAB均是正△,∴PD⊥AB,CD⊥AB,∴AB⊥平面PDC,VP-ABC=VB-PDC VA-PDC=S△PDC*AB/3,S△PDC=(PD*CD*sinPD=CD=√3a/2,当〈PDC=90°时正弦有最大值为1,∴S△PDC(max)=(√3a/2)*(√3a/2)*1/2=3a^2/8,∴V(max)=a*(3a^2/8)/3=a^3/8。 四面体的体积的最大值为a^3/8。当体积最大时,有两个正三角形,两...全部
设四面体PA=PB=AB=AC=BC=a,PC=x,可以看作正三角形ABC不动,而正三角形PAB沿轴AB转动,x(PC是变化的),取AB中点D,连结PD、CD,∵△PAB和△CAB均是正△,∴PD⊥AB,CD⊥AB,∴AB⊥平面PDC,VP-ABC=VB-PDC VA-PDC=S△PDC*AB/3,S△PDC=(PD*CD*sinPD=CD=√3a/2,当〈PDC=90°时正弦有最大值为1,∴S△PDC(max)=(√3a/2)*(√3a/2)*1/2=3a^2/8,∴V(max)=a*(3a^2/8)/3=a^3/8。
四面体的体积的最大值为a^3/8。当体积最大时,有两个正三角形,两个等腰三角形,S△PAB=S△ABC=√3a^2/4,△PDC是RT等腰△,PC=√2PD=√6a/2,余弦定理,cossinS△PBC=S△PAC=a*a*sin∴S=2*√3a^2/4 √15a^2/4=(2√3 √15)a^2/4。
当四面体的体积最大时,其表面积为(2√3 √15)a^2/4。收起