数学单元同步求棱长为12cm的正四面体的内切球的体积

求四面体体积一球外接于四面体AB

首先证明四面体ABCD的高DH为另一球的一条直径。 设DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为F、E，则 AE=AF=ADcos∠BAD=3/√2， cos∠HAE=cos∠HAF=√[(1+cos∠BAC)/2]=3/√10。 ∴AH=AE/cos∠HAE=√5，DH=√(AD^2-AH^2)=2。 ∴四面体外接球的中心在DH上。 ∴AD=BD=CD，AC=AB=2AE=3√2。 于是，S△ABC=(1/2)AB·AC·sin∠BAC=27/5。 故四面体ABCD的体积为 V=(1/3)·S△ABC·DH=18/5。全部

  首先证明四面体ABCD的高DH为另一球的一条直径。 设DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为F、E，则 AE=AF=ADcos∠BAD=3/√2， cos∠HAE=cos∠HAF=√[(1+cos∠BAC)/2]=3/√10。
   ∴AH=AE/cos∠HAE=√5，DH=√(AD^2-AH^2)=2。 ∴四面体外接球的中心在DH上。 ∴AD=BD=CD，AC=AB=2AE=3√2。 于是，S△ABC=(1/2)AB·AC·sin∠BAC=27/5。
   故四面体ABCD的体积为 V=(1/3)·S△ABC·DH=18/5。收起