奇函数的原函数是偶函数偶函数的导数是奇
对于关于函数的等式,两边可以求不定积分,但要注意积分后一定要在等号的一边加上任意常数C。
如果f(x)和g(x)都有原函数,且f(x)=g(x),那么
∫f(x)dx=∫g(x)dx+C
其中C为任意常数。
另外,上题结论有误,应改为:
定义域是关于原点对称的一个区间的奇函数的原函数是偶函数。
例如:
F(x)=lnx,x>0时
ln(-x)+1,x<0时
是f(x)=1/x的一个原函数,但不是偶函数。
上题不能通过求不定积分证明,可以这样证明:
设奇函数f(x)的定义域是(-a,a)或[-a,a]或(-∞,+∞),其中a是正常数,设它的一个原函数是F(x),则
(F(x)-F(-...全部
对于关于函数的等式,两边可以求不定积分,但要注意积分后一定要在等号的一边加上任意常数C。
如果f(x)和g(x)都有原函数,且f(x)=g(x),那么
∫f(x)dx=∫g(x)dx+C
其中C为任意常数。
另外,上题结论有误,应改为:
定义域是关于原点对称的一个区间的奇函数的原函数是偶函数。
例如:
F(x)=lnx,x>0时
ln(-x)+1,x<0时
是f(x)=1/x的一个原函数,但不是偶函数。
上题不能通过求不定积分证明,可以这样证明:
设奇函数f(x)的定义域是(-a,a)或[-a,a]或(-∞,+∞),其中a是正常数,设它的一个原函数是F(x),则
(F(x)-F(-x))'
=F'(x)+F'(-x)
=f(x)+f(-x)=0。
从而F(x)-F(-x)=C,其中C为常数。
上式中令x=0得C=0。因此对于f(x)定义域内任意x,
F(x)=F(-x)
即F(x)是偶函数。收起
