设f(x)是定义在R是的函数,证明f(x)等于一个奇函数与偶函数的和
如果f(x)是非奇非偶函数，则
设g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，并且f(x)=g(x)+h(x)……（1）
用-x代换x，得到
f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)……（2）
(1)+(2):2g(x)=f(x)+f(-x)
--->g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
(1)-(2):2h(x)=f(x)-f(-x)
--->h(x)=[g(x)-h(x)]/2 是奇函数
所以f(x)=g(x)+h(x)
。 。。。。。。。=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(x)]/2
所以f(x)能够表示成偶函数和奇函数的和。
PS：一个偶函数不能表示...全部
如果f(x)是非奇非偶函数，则
设g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，并且f(x)=g(x)+h(x)……（1）
用-x代换x，得到
f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)……（2）
(1)+(2):2g(x)=f(x)+f(-x)
--->g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
(1)-(2):2h(x)=f(x)-f(-x)
--->h(x)=[g(x)-h(x)]/2 是奇函数
所以f(x)=g(x)+h(x)
。
。。。。。。。=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(x)]/2
所以f(x)能够表示成偶函数和奇函数的和。
PS：一个偶函数不能表示成偶函数和奇函数的和，而奇函数也不能表示成非零的偶函数和奇函数的和。
。收起
