实数x属于[0,兀/2],解方程(2-sin2x)sin(x+兀/4)=1.
解:设sin(x+π/4)=y,则
sin2x=-cos(2x+π/2)=-(1-2y^2)=2y^2-1。
因此原方程就是
(3-2y^2)y=1
2y^3-3y+1=0
(y-1)(2y^2+2y-1)=0
因此y-1=0或2y^2+2y-1=0。
(1)若y-1=0,则y=1,即sin(x+π/4)=1,因此x=π/4。
(2)若2y^2+2y-1=0,则
y=(-2±sqrt(2×2-4×2×(-1))/(2×2)
=(-1±sqrt(3))/2。
显然y=sin(x+π/4)≤1,另一方面由0≤x≤π/2得
y=sin(x+π/4)≥sqrt(2)/2,因此上述情况是...全部
解:设sin(x+π/4)=y,则
sin2x=-cos(2x+π/2)=-(1-2y^2)=2y^2-1。
因此原方程就是
(3-2y^2)y=1
2y^3-3y+1=0
(y-1)(2y^2+2y-1)=0
因此y-1=0或2y^2+2y-1=0。
(1)若y-1=0,则y=1,即sin(x+π/4)=1,因此x=π/4。
(2)若2y^2+2y-1=0,则
y=(-2±sqrt(2×2-4×2×(-1))/(2×2)
=(-1±sqrt(3))/2。
显然y=sin(x+π/4)≤1,另一方面由0≤x≤π/2得
y=sin(x+π/4)≥sqrt(2)/2,因此上述情况是不可能的。
(上述解答过程中sqrt(2)表示2的算术平方根,y^2表示y的平方)
综上所述,x=π/4。收起
