如何判断一个函数是否是周期函数?
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证： ∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C, ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 , 有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(...全部
定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证： ∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C, ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 , 有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X), ∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2 若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,（其中a、b为常数）。
证： 先证 是f(ax+b)的周期 ∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M,且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。
再证 是f（ax+b）的最小正周期 假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期, 则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b）,即f（ax+b+aT’）=f（ax+b）, 因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数, ∴aT’是f(X)的周期,但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。
定理3 设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。 证： 设T是u=g(x)的周期,则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。
例1 设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。 同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx),（2）f(X)=Sin(tgx),（3）f(X)=Sin2x,（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。
例2 f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 例3 f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数,则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾, ∴cos 不是周期函数。 由例2、例3说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数。
定理4 设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期。 证： 设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M,且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。
同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。定理4推论 设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若,… （或T1,T2……Tn中任意两个之比）都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。 例5 讨论f(X)= 的周期性 2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 又 都是有理数 ∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证： （1）f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理5 设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证 先证充分性： 若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q 由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 （1）设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T＞0, 使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ）,则 （K∈Z）。(2) 或 C∈Z（3） 又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 由(4) 由sin （5） 由上述（2）与（3）,（4）与（5）都分别至少有一个成立。
由（3）、（5得 ）（6） ∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 （2）设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数。收起
