如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH
用反证法,若AB与平面EFGH(简记为β)不平行,则AB与平面β必有交点P,
【1】
P在平面β上,
P在直线AB上,那么一定在平面ABD上,
所以P在平面β和平面ABD的交线GH上。
【2】
P在平面β上,
P在直线AB上,那么一定在平面ABC上,
所以P在平面β和平面ABC的交线EF上。
【3】
根据【1】和【2】可知P是EF和GH的交点,这就不符合“四边形EFGH为平行四边形”的题意。
从而由反证法得证“AB∥平面EFGH”。
类似地由反证法也可得证“CD∥平面EFGH”。
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