一道高二数学题，急空间四边形AB
空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA以及对角线BD、AC的长均相等，O是正⊿BDC的中心，M、N分别是AC、AB的中点，求异面直线DN与OM所成角的大小
解:向量DA=ａ,向量DB=ｂ向量D=ｃ
向量DN=(1/2)(ａ+ｂ),
向量DM=(1/2)(ａ+ｃ),
向量DO=(2/3)[(1/2)(ｂ+ｃ)]=(1/3)(ｂ+ｃ)
向量OM=向量DM-向量DO=(1/2)(ａ+ｃ)-(1/3)(ｂ+ｃ)
向量OM=1/6(3ａ-2ｂ+ｃ)
|ａ|=|ｂ|=|ｃ|=1,ａ,ｂ,ｃ的夹角都是60°则ａ·ｂ=ｂ·ｃ=ｃ·ａ=1/2
cos=(向量DN·向量OM)/|向量DN|×|向量O...全部
空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA以及对角线BD、AC的长均相等，O是正⊿BDC的中心，M、N分别是AC、AB的中点，求异面直线DN与OM所成角的大小
解:向量DA=ａ,向量DB=ｂ向量D=ｃ
向量DN=(1/2)(ａ+ｂ),
向量DM=(1/2)(ａ+ｃ),
向量DO=(2/3)[(1/2)(ｂ+ｃ)]=(1/3)(ｂ+ｃ)
向量OM=向量DM-向量DO=(1/2)(ａ+ｃ)-(1/3)(ｂ+ｃ)
向量OM=1/6(3ａ-2ｂ+ｃ)
|ａ|=|ｂ|=|ｃ|=1,ａ,ｂ,ｃ的夹角都是60°则ａ·ｂ=ｂ·ｃ=ｃ·ａ=1/2
cos=(向量DN·向量OM)/|向量DN|×|向量OM|
=[(1/2)×(1/6)×(ａ+ｂ)·(3ａ-2ｂ+ｃ)]/[(1/2)|ａ+ｂ|×(1/6)|3ａ-2ｂ+ｃ|]
=(ａ+ｂ)·(3ａ-2ｂ+ｃ)]/[|ａ+ｂ|×|3ａ-2ｂ+ｃ|]
=[3ａ·ａ+ａ·ｂ+ａ·ｃ-2ｂ·ｂ+ｂ·ｃ]/[√(ａ·ａ+2ａ·ｂ+ｂ·ｂ)×(9ａ·ａ+4ｂ·ｂ+ｃ·ｃ-12ａ·ｂ-4ｂ·ｃ+6ａ·ｃ]
=(5/2)/√(3×9)=(5√3)/18
异面直线DN与OM所成角为:arccos(5√3)/18
。
收起
