几何

▇??立体几何已知边长为a的正方形

已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，使PA垂直于平面ABCD，PA=a，求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小 如图 (1)。二面角A-PB-C 因为，PA⊥面ABCD 所以，PA⊥BC 又底面ABCD为正方形，所以：BC⊥AB 所以，BC⊥面APB 而，BC∈面CPB 所以，面APB⊥面CPB 所以，二面角A-PB-C为90° (2)。 二面角B-PC-D 因为，PA⊥面ABCD 所以，△PAB、△PAC、△PAD均为直角三角形 由勾股定理易得，PB=PD=√2a、PC=√3a 由(1)的过程知，BC⊥面PAB 所以，BC⊥PB 即，△PBC也是直角三角形 同理，△PDC为直角三...全部

  已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，使PA垂直于平面ABCD，PA=a，求二面角A-PB-C和B-PC-D的大小 如图 (1)。二面角A-PB-C 因为，PA⊥面ABCD 所以，PA⊥BC 又底面ABCD为正方形，所以：BC⊥AB 所以，BC⊥面APB 而，BC∈面CPB 所以，面APB⊥面CPB 所以，二面角A-PB-C为90° (2)。
  二面角B-PC-D 因为，PA⊥面ABCD 所以，△PAB、△PAC、△PAD均为直角三角形 由勾股定理易得，PB=PD=√2a、PC=√3a 由(1)的过程知，BC⊥面PAB 所以，BC⊥PB 即，△PBC也是直角三角形 同理，△PDC为直角三角形 且，PB=PD=√2a、BC=DC=a，PC=√3a 那么，Rt△PBC≌Rt△PDC（SSS） 所以，∠BPC=∠DPC 过点B作PC的垂线，垂足为E，连接DE、DB 那么，PB=PD=√2a、∠BPC=∠DPC、PE公共 所以，△PEB≌△PED（SAS） 所以，∠PED=∠PEB=90°、DE=BE 即，DE⊥PC 所以，∠DEB为二面角B-PC-D的平面角 那么，在Rt△PBC中，BE⊥PC 所以，BC^2=CE*CP 则，CE=BC^2/CP=a^2/(√3a)=(√3/3)a 由勾股定理有：BE^2=BC^2-CE^2=a^2-[(√3/3)a]^2=(2/3)a^2 所以，BE=DE=(√6/3)a 则，在△EBD中，BE=DE=(√6/3)a、BD=√2a 所以，由余弦定理得到： cos∠BED=(BE^2+DE^2-BD^2)/(2*BE*DE) =[(2/3)a^2+(2/3)a^2-2a^2]/[2*(2/3)a^2] =-1/2 所以，∠BED=120° 即，二面角B-PC-D为120°。
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