平行六面体与四面体的体积关系

四面体问题1、一个四面体五条梭都为1，第六条为X，当X为多少时四面体体积最大？ 2、一个四面体三条梭都为1，二条为2，第六条为X，当X为多少时四面体体积最大？ 3、由梭长为1和2组成的四面体体积为多少？

1。 如图1所示：△BCD是边长为1的正△,M是BC的中点,AD=x,AB=AC=1, MD=AM=√3/2, 设 ∠AMD=θ,四面体ABCD的体积V=(1/3)×△BCD的面积×BC=(1/3)×(1/2)×(√3/2)×(√3/2)×sinθ=(1/8)sinθ≤1/8, ∴ θ=90°时,V(max)=1/8,此时x=√2×(√3/2)=√6/2。 2。 如图2所示：：△BCD是边长为1的正△,M是BC的中点,AD=x,AB=AC=2, MD=√3/2, AM=√(4-0。25)=√15/2设 ∠AMD=θ,四面体ABCD的体积V=(1/3)×△BCD的面积×BC=(1/3)×...全部

  1。 如图1所示：△BCD是边长为1的正△,M是BC的中点,AD=x,AB=AC=1, MD=AM=√3/2, 设 ∠AMD=θ,四面体ABCD的体积V=(1/3)×△BCD的面积×BC=(1/3)×(1/2)×(√3/2)×(√3/2)×sinθ=(1/8)sinθ≤1/8, ∴ θ=90°时,V(max)=1/8,此时x=√2×(√3/2)=√6/2。
   2。 如图2所示：：△BCD是边长为1的正△,M是BC的中点,AD=x,AB=AC=2, MD=√3/2, AM=√(4-0。25)=√15/2设 ∠AMD=θ,四面体ABCD的体积V=(1/3)×△BCD的面积×BC=(1/3)×(1/2)×(√3/2)×(√15/2)×sinθ=(√5/8)sinθ≤√5/8, ∴ θ=90°时,V(max)=5/8,此时x=√[√3/2)^+(√15/2)^]=3√2/2。
   3。 如图3所示：：△BCD是边长为1的正△,M是BC的中点,AD=AB=AC=2, MD=√3/2, AM=√(4-0。
  25)=√15/2设 ∠AMD=θ,四面体ABCD的体积V=(1/3)×△BCD的面积×BC=(1/3)×(1/2)×(√3/2)×(√15/2)×sinθ=(√5/8)sinθ, 在△AND中由余弦定理,得cosθ=√5/15,∴ sinθ=2√11/(3√5),V=√11/12。收起