若直角三角形周长为定值e,求三角形面积的最大值。

求周长为√2+1 的三角形的面积最大值

等周定理:三角形周长为定值L,则三边相等时面积最大。 证明:设三角形三边长分别为a,b,c,且a+b+c=L(定值) 由海伦公式,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c) (其中p=(a+b+c)/2=L/2) p=L/2也是定值,由均值不等式知: [(p-a)(p-b)(p-c)]的立方根≤(1/3)[(p-a)+(p-b)+(p-c)]= (1/3)[3p-(a+b+c)]=(1/3)[3p-2p]=p/3,(a=b=c时等号成立)。 ∴[(p-a)(p-b)(p-c)]≤p^3/27 ∴三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)≤√(p*p^3/27)=√3p^2/...全部

  等周定理:三角形周长为定值L,则三边相等时面积最大。 证明:设三角形三边长分别为a,b,c,且a+b+c=L(定值) 由海伦公式,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c) (其中p=(a+b+c)/2=L/2) p=L/2也是定值,由均值不等式知: [(p-a)(p-b)(p-c)]的立方根≤(1/3)[(p-a)+(p-b)+(p-c)]= (1/3)[3p-(a+b+c)]=(1/3)[3p-2p]=p/3,(a=b=c时等号成立)。
   ∴[(p-a)(p-b)(p-c)]≤p^3/27 ∴三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)≤√(p*p^3/27)=√3p^2/9 =√3L^2/36 (a=b=c时取等号) 应用于本题:L=√2+1 三角形等边时，三角形的最大面积S=√3*(√2+1)^2/36=√3/12+√6/18 设直角三角形ABC中,角C=90°,边a=c*sinA,b=c*cosA, 面积S=(1/2)a*b=(1/4)c^2*sin(2A)≤(1/4)c^2 当2A=90°,A=45°时取最大值,此时a=b=√2/2*c a+b+c=√2+1，(√2/2+√2/2+1)*c=√2+1，c=1， 最大面积=（1/4)c^2=1/4 。
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